力学

「未来予測」から始める物理学の第一歩

技術者が行う「設計」では，仕様書や設計図を検討している段階であっても，完成後の製品の動き方を「予測」することが求められます．実際に製品を作る前の時点で完成後の挙動を知ることができれば，大きな不具合や損失を回避して効率的に開発を進められます．そういった意味で，設計とはまだ作っていない対象の挙動を「未来予測」しながら完成品を作り込んでいく作業だと言えます．

未来予測をするためには，その対象の動き方に関する「法則」を知る必要があります．様々な対象を観察することで，それらがしたがう法則を明らかにする学問が「物理学」です．物理学はあらゆる科学技術の土台であり，その知識体系は実用的な設計をする上で大きな助けになります．本セミナで扱う「力学」は物理学の中で最も早く成立した分野であり，物理学のすべての分野で使う共通の考え方や知識を数多く含みます．

本セミナでは「実際に物体の挙動を未来予測するための訓練」を徹底的に行います．セミナの最後まで一緒に頭を使って思考し，手を動かして計算をすれば，すべての科学・工学の分野で通用する確固たる技術を習得することができます．

「微分方程式」を解く技術を習得する

設計の本質は「未来予測」であり，対象の未来予測に必要な道具が「物理法則」です．そして，多くの物理法則は「微分方程式」と呼ばれる数式で書かれています．

物理法則を読み解いて正しく理解するためには，微分方程式の知識が不可欠です．また，実際に物を設計するには「微分方程式を解く」ための技術も必要となります．このように，物理学や工学を習得する上で微分方程式を避けて通ることはできません．

そこで本セミナでは，微分方程式の基本的な知識から応用上必要となる具体的な解法まで丁寧に解説します．たくさんの練習問題を通して，力学を理解し運用するためのテクニックを網羅します．

「物理で使う数学」の基礎から「惑星の運動」まで

力学では 微分・積分 や 線形代数 といった数学を基本的な道具として使い，「ニュートンの運動方程式」と呼ばれる微分方程式によって物体の挙動を解析します．この「ニュートンの運動方程式」を理解して自由自在に使いこなすことが，力学を習得する上での最大の目標となります．

次図は「力学の構造」を示したもので，この中の「運動の法則」が力学の核心となる部分です．ニュートンの運動方程式もここに含まれます．運動方程式を理解するための下地として微分方程式をはじめとした数学があり，また運動方程式の応用先として「質点系の運動」や「剛体の運動」などがあります．本セミナでは，この図に示されている内容を下から上まで網羅します．

本セミナでは，高校数学から出発して物理学の全般で必要となる微分方程式を解く技術を固めます．その上で力学の基本事項に進み，様々な題材を例として実際に「物体の未来の挙動を予測する」ための訓練を行います．この中でロボットや建築物などの設計に役立つ議論や，電子回路や制御システムの挙動に関する話題も登場します．また，力学は歴史的に天文学と密接な関わりがあります．そこで，最後は本セミナ全体で習得したテクニックを総動員して「惑星の運動」を解析します．

実験とアニメーションを通して数式を直感的に理解する

力学は身近な物体の挙動から宇宙規模の現象まで，幅広い対象に適用できる理論です．本セミナでは「微分方程式を解いて物体の運動を解析できるようになる」ことを重視していますが，その結果として得られる現実世界における物体の挙動をイメージできないようでは本末転倒です．そこで，微分方程式を解いて運動を解析した上で，数式が表している具体的な現象を 実験 によって確認します．これにより「力学という道具を使って未来予測ができている」という確かな手応えを得られるはずです．

また，そのまま実験を行うのが難しい抽象的な内容の説明では アニメーション を利用します．これらのアニメーションはプログラミング言語のPython（パイソン）で作成しており，セミナの中では簡単なソース・コードの解説も行います．

なお，本セミナにおけるPythonプログラムの位置づけはあくまで「学習の補助」です．Pythonの文法やプログラミングの知識がなくても，力学を学ぶ上で支障はありません．もちろん，文法を知っていればセミナの内容をより深く楽しむことができます．

Pythonプログラムの実行環境については「Pythonインタプリタのインストール」のページを参照してください．

前提知識

本セミナでは，力学で必要となる数学を最初にひととおり解説します．ただし，小・中学校で習う以下の内容は既知としますのでご了承ください．

• 「正負の数」の計算
• 「平方根」の計算
• 「図形問題」に関する基本的な知識
• 「式の展開」と「因数分解」の計算
• 「1次関数」と「2次関数」の知識

なお，力学を習得する上で「微分・積分」と「線形代数」の知識は大いに役立ちます．これらは本セミナの中でも解説しますが，分量の都合により必要最小限の内容に留めています．より詳しい内容については，個別のセミナを参照してください．

• 「初等関数と微分・積分」
• 「線形代数」

また，必要に応じて 理工系の基本用語 を参照してください．

紙とペンをご用意ください

物理を効率よく習得するには，自分の手を動かしながら学ぶことが不可欠です．本セミナでは，重要な項目を扱う場面で「クイズ」と称して簡単な穴埋め問題を用意しています．ぜひ手元に紙とペンを用意し，動画を一時停止して考えながらご視聴ください．特に，力学のセミナではクイズの分量を他のセミナよりも大幅に増やしています．ぜひ何度も繰り返し利用してください．

本セミナの内容は，時間的な都合がある中でどうしてもカットできない項目を集めたものです．資料に書かれている数式や図は，本質的な理解を得る上で必ず通るべき「道」です．すべて自分で書き写せば，大きな学習効果が得られます．つまらない試験のためではなく，実際に設計の現場で使う道具として「手に馴染ませる」ことが重要です．

さらにやる気があれば，定義については自分の言葉で説明できるように，定理や公式は自力で導出できるように訓練してみてください．「こんな数式が何の役に立つのだ？」という疑問には，セミナの中ですべて答えているはずです．

解説内容

Part 1（物理学の全般で使う数学）

• 力学と未来予測
• 初等関数
• 微分・積分
• ベクトル
• 行列
• 微分方程式の基礎知識
• 力学でよく使う微分方程式の解き方

Part 2（運動の法則，質点の運動）

• 速度と加速度
• 運動の法則
• いろいろな力
• 「放物運動」の運動方程式
• 「単振動」の運動方程式
• 極座標における運動方程式
• 仕事とエネルギ
• ポテンシャルの微分と保存力

Part 3（座標変換，質点系，剛体）

• 座標変換と慣性力
• フーコーの振り子
• 2体問題
• 2物体の衝突
• 質点系の運動
• 面積分と体積分
• 剛体のつりあい
• 剛体の回転運動

Part 4（剛体の回転運動，惑星の運動）

• 剛体に固定した座標系における「オイラーの運動方程式」
• 剛体の自由歳差運動
• 重力による強制歳差運動
• 楕円
• 惑星の運動とケプラーの法則
• まとめ